Hacia una teoría de la Gravedad Cuántica - Teresa Bautista Solans

Hacia una teoría de la Gravedad Cuántica.

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Albert Einstein fue el padre de la Relatividad General, la teoría que explica la atracción gravitatoria entre los grandes sistemas en nuestro universo como los planetas, las estrellas o los cúmulos galácticos. Por su lado, Niels Bohr fue uno de los padres de la mecánica cuántica, el marco teórico con que describir la física de los sistemas más pequeños conocidos, tales como los átomos o las partículas subatómicas, electrones, neutrinos o quarks. Los legados de estos dos grandes físicos del siglo XX se unen en lo que llamamos la gravedad cuántica. La gravedad cuántica surge cuando la interacción gravitatoria se vuelve importante a escalas microscópicas, o en otras palabras, es lo que resulta de combinar los principios de la mecánica cuántica con la gravedad. Aunque hemos hecho progresos en entender algunos aspectos de la gravedad cuántica, el desarrollo de una teoría que la describa física y matemáticamente sigue siendo uno de los desafíos más ambiciosos de la física teórica contemporánea.

En este capítulo vamos a tratar de explicar cuando y como se manifiesta la gravedad cuántica, empezando por situaciones donde supone tan solo pequeñas correcciones a lo predicho por la Relatividad General de Einstein, y continuando por otras donde es la única protagonista. Para terminar, nos entretendremos con una de las líneas de investigación que actualmente se están llevando a cabo con el fin de desarrollar una teoría de la gravedad cuántica.

 

Pequeños efectos de la Gravedad Cuántica.

Para tomar un primer contacto con los efectos de la gravedad cuántica, nada mejor que empezar con un ejemplo. Consideremos la órbita de Mercurio alrededor del Sol, debida a la atracción gravitatoria entre ambos cuerpos. La Relatividad General nos permite calcular la forma de la órbita que observamos, así como el perihelio de esta órbita, el punto de mayor proximidad de Mercurio al Sol. Hagamos ahora un salto de lo grande a lo pequeño, y consideremos el átomo de hidrógeno, compuesto por un protón y un electrón. El protón tiene carga eléctrica positiva, y el electrón, mucho más ligero y con carga negativa, orbita a su alrededor debido a la atracción eléctrica entre ambos. Debido a que protón y electrón son partículas muy pequeñas, la dinámica resultante de su interacción eléctrica viene determinada por los principios de la mecánica cuántica. Así pues, para calcular la órbita del electrón alrededor del protón, tenemos que aplicar las leyes de la mecánica cuántica a la interacción eléctrica, o como se dice en términos técnicos, tenemos que “cuantizarla”. El desarrollo de tal teoría, la llamada Electrodinámica Cuántica¹, es hoy en día una teoría bien establecida con la que se han predicho muchas propiedades de átomos y moléculas confirmadas experimentalmente².

Volvamos ahora a la órbita de Mercurio alrededor del Sol. El éxito de la cuantización de la interacción eléctrica nos lleva a preguntarnos: ¿podemos cuantizar la gravedad de la misma forma que se cuantizó la electricidad? Y en caso afirmativo, ¿podemos calcular como se corrige la órbita de Mercurio debido a los efectos cuánticos? Mucho se tardó en responder a estas preguntas, pero ahora sabemos que sí es posible. Aplicando algunas de las técnicas de cuantización conocidas a la Relatividad General, en los últimos treinta años se ha podido desarrollar la llamada teoría cuántica efectiva de la gravedad³. Tal y como su nombre indica, esta teoría es solo efectiva, es decir, sus predicciones son una buena aproximación a la realidad solo cuando los efectos gravitatorios cuánticos suponen pequeñas correcciones a aquello que la teoría de la Relatividad General predice. Aunque pueda parecer limitado, este es en realidad el caso de los efectos de la gravedad cuántica sobre las trayectorias y dinámicas de los grandes cuerpos astronómicos que vemos a nuestro alrededor, desde planetas, a estrellas y a galaxias. De hecho, en estos casos los efectos cuánticos son tan pequeños que las predicciones de la teoría cuántica efectiva son de las más precisas que existen⁴.

Usando esta teoría, a mediado de los años noventa se consiguió determinar la corrección cuántica a la atracción gravitatoria entre dos cuerpos grandes [1], y con ello, la corrección a la órbita de Mercurio alrededor del Sol. La corrección es una simple deformación de la órbita calculada con la Relatividad General. Hagámonos una idea de su magnitud:  la distancia del Sol al perihelio de la órbita de Mercurio es aproximadamente de 46 millones de kilómetros, y los efectos cuánticos corrigen esta distancia en unos 10^-83 kilómetros. Para entender este número, comparémoslo con el tamaño del protón, que es de unos 0.000001 nanómetros (donde recordemos que el nanómetro equivale a 10^-9 metros). Así pues, la corrección cuántica al perihelio de Mercurio es unas 10⁶⁵ veces menor que un protón, que a su vez es unas 10²⁵ veces menor que el mismo perihelio. Esto equivale aproximadamente a una corrección de una parte en 10⁹⁰. Sí, estoy de acuerdo, ¡¡es una corrección ínfima!!

Fig.1 La órbita de Mercurio alrededor del Sol está determinada por la interacción gravitatoria entre los dos cuerpos, según la teoría de la Relatividad General de Einstein. Con la teoría cuántica efectiva de la gravedad se ha podido calcular la corrección cuántica al perihelio de esta órbita (la línea naranja discontinua representa la órbita corregida cuánticamente), que resulta de una parte en 10⁹⁰.

Aunque asombrosa, la pequeñez de esta corrección no debería sorprendernos. Los efectos cuánticos son importantes en el mundo de lo microscópico, cuando los experimentan partículas del tamaño de moléculas, átomos, o incluso menores. Por lo contrario, objetos macroscópicos, a escalas como las que percibimos a nuestro alrededor a diario, experimentan efectos cuánticos tan pequeños en comparación a su tamaño que apenas son perceptibles. Imaginaros que tan pequeños son, pues, con los vastos sistemas de nuestro universo.

Es evidente que diseñar y llevar a cabo un experimento con la precisión necesaria para medir tal corrección es por ahora impensable. No obstante, la incertidumbre acerca de cuándo podremos observar tales efectos no debería frenar nuestro afán de entender la gravedad cuántica. En la historia de la Relatividad General hay importantes ejemplos de predicciones que, aún mucho antes de ser corroboradas observacionalmente, han impulsado el desarrollo de la teoría. Tales ejemplos incluyen las ondas gravitatorias y los agujeros negros, predichos por la teoría de la Relatividad General en el mismo 1916, pero que no fueron directa o indirectamente observados hasta muchos años después.

 

Cuando la Gravedad Cuántica se vuelve importante.

La corrección a la órbita de Mercurio alrededor del Sol es un ejemplo donde los efectos de la gravedad cuántica no cambian cualitativamente la física del sistema, este es justamente el régimen de validez de la teoría cuántica efectiva. Os estaréis ahora preguntando, ¿existen situaciones donde los efectos de la gravedad cuántica sean más que meras correcciones imperceptibles, donde los efectos de ambas, la interacción gravitatoria y la mecánica cuántica, sean igual de dominantes, de modo que supongan un cambio cualitativo o cuantitativo importante en la física del sistema? La respuesta a esta pregunta es un emocionante: ¡Sí, sí que las hay! Tales situaciones involucran algunos de los eventos y las estructuras más fascinantes de nuestro universo, tan misteriosas como reales, y que constituyen el objeto de estudio de una gran parte de la investigación actual en física teórica. Veamos algunas de ellas.

Los agujeros negros.

La primera de estas situaciones se da en el interior de los agujeros negros. Estos objetos de altísima densidad crean un campo gravitatorio tan intenso a su alrededor, que ni siquiera la luz, que se mueve a la velocidad más alta posible físicamente, es capaz de escapar si se acerca demasiado al agujero. De ahí que estos objetos se califiquen de “negros”. La distancia máxima a la que la luz se puede acercar al agujero antes de ser engullida por este constituye el llamado horizonte de eventos, la frontera de no retorno. Imaginémoslo como una esfera alrededor del agujero. Todo aquello que cruza el horizonte hacia el interior del agujero, queda allí atrapado, y pierde cualquier posibilidad de comunicarse con el exterior. Efectivamente, las ecuaciones de Einstein predicen que todo aquello que cruza el horizonte continúa su trayectoria hasta el centro del agujero debido a la gran atracción gravitatoria. ¿Pero y qué sucede entonces en el centro de un agujero negro? Un punto del tamaño más pequeño que podamos imaginarnos, ¡quizás incluso más pequeño que un electrón o un quark! pero con una acumulación de materia y energía enorme y una atracción gravitatoria increíblemente intensa. Las ecuaciones de la Relatividad General que representan al agujero negro dejan de tener sentido en este punto, y por tanto no tenemos ninguna predicción de lo que allí sucede. La física en el centro de un agujero negro viene pues completamente determinada por la gravedad cuántica.

Fig.2 Representación de un agujero negro. La esfera negra corresponde al horizonte de eventos, de donde la luz no puede escapar. Cabe decir que los agujeros negros realistas no se ven exactamente así, puesto que acostumbran a estar rodeados por un disco de materia y energía que rota a su alrededor y que el agujero va acretando.

La gravedad cuántica juega también un papel importante en el horizonte de eventos. A mediados de los años setenta, los cálculos de Stephen Hawking desvelaron algo sorprendente: estos objetos no son tan negros como pensábamos, sino que en realidad emiten radiación desde el horizonte. Pares de partículas se crean y se destruyen continuamente en el vacío presente alrededor del horizonte. De vez en cuando, una de las partículas cae dentro del agujero, mientras que la otra escapa de su succión hacia el exterior. El flujo de partículas que escapan constituye la radiación del agujero negro⁵. La creación y destrucción espontánea de partículas en el vacío es un efecto puramente cuántico, por tanto, la radiación del agujero negro es un efecto de la gravedad cuántica. Aunque la radiación emitida por un agujero negro grande, como podría ser el del centro de nuestra galaxia, sería muy débil y por tanto imperceptible, el hecho de que emita radiación supone un cambio cualitativo radical. Por un lado, pasamos de un agujero que todo engulle, tal y como predice la Relatividad General, a un agujero que emite.  Por el otro, nos revela algo increíble de los agujeros negros: como todo cuerpo que emite radiación el horizonte de eventos debe tener temperatura. El horizonte, que en principio corresponde a una mera frontera para la luz en el espacio vacío, resulta que no está completamente frío. Los agujeros negros tienen pues propiedades térmicas. Esto a su vez, tiene consecuencias sorprendentes para la evolución temporal de estos objetos. Una consecuencia inmediata es que los agujeros negros se evaporan: a medida que emiten radiación van perdiendo energía, y pueden por tanto terminar por evaporarse del todo y desaparecer. Esto contrasta drásticamente con el concepto de agujero negro en estado de engorde eterno que la Relatividad General establece, y por tanto su radiación, lejos de ser una pequeña corrección, cambia radicalmente el destino del agujero.

Pero quizás aún más importante, este descubrimiento tiene implicaciones profundas para la estructura del horizonte de eventos y los agujeros negros en general. Según la interpretación moderna de la termodinámica, las propiedades térmicas de sistemas grandes o macroscópicos están determinadas por el comportamiento estadístico de sus constituyentes más pequeños o microscópicos. Por ejemplo, la temperatura de un gas se explica por el movimiento y vibración de las moléculas o átomos que lo componen. Así pues, el hecho que el horizonte tenga temperatura sugiere que éste no es simplemente una frontera de no retorno, sino que debería estar compuesto por algún tipo de partículas o constituyentes microscópicos, o, en otras palabras, debería tener estructura a nivel cuántico. Estos “átomos gravitatorios” serían los responsables de generar la temperatura del horizonte, tal y como sucede con un gas.

Una de las variables térmicas macroscópicas que mejor encapsula información acerca de la estructura microscópica de un sistema es la llamada entropía. La entropía cuenta el número de configuraciones distintas en que los constituyentes microscópicos del sistema se pueden encontrar compatibles con sus propiedades macroscópicas. Por ejemplo, en el caso de un gas, su entropía está determinada por el número de todas las posibles configuraciones de posición o velocidad de los átomos que lo componen, que dan lugar a la misma temperatura, volumen o presión del gas. Actualmente se conocen varias formas de calcular la entropía de un sistema. La expresión matemática resultante depende, como es de esperar, de los parámetros macroscópicos del sistema (temperatura, volumen, etc.) así como también de constantes físicas fundamentales (velocidad de la luz, carga eléctrica del electrón, etc.) según el tipo de constituyentes microscópicos que lo conformen. La forma en que depende de estos parámetros y constantes es crucial, pues de nuevo, esta es muy particular del tipo de constituyentes microscópicos del sistema, sus propiedades y sus interacciones. La entropía del horizonte de un agujero negro representa pues una gran fuente de información acerca de su estructura microscópica.

La entropía es también una medida de la cantidad de información, datos, almacenados en un sistema. A más datos, más entropía. Esto debería parecer lógico: para almacenar muchos libros en una biblioteca, esta requiere de una compleja estructura de salas, pasillos, librerías y estanterías. Extrapolando, la entropía del horizonte de un agujero negro debería medir la cantidad de información almacenada, es decir, los datos sobre todo aquello que traviesa el horizonte y cae dentro del agujero negro. Podría ser incluso que una “copia de seguridad” quedara guardada en el horizonte, codificada en su microestructura, cual disco duro externo. En este caso, podríamos quizás recuperar esos datos, ¡contrariamente a aquello que pensábamos definía a los agujeros negros! Las propiedades cuánticas de los agujeros negros cambian pues por completo nuestro entendimiento de qué son estos misteriosos objetos.

Para calcular la expresión exacta de la entropía del horizonte de un agujero negro se requiere de una teoría de la gravedad que sea válida cuando los efectos cuánticos son dominantes. Desarrollar esta teoría y con ella llegar a identificar los constituyentes gravitatorios microscópicos representaría un avance conceptual indiscutible en nuestro camino hacia comprender los agujeros negros. Podríamos entonces responder a muchas preguntas que permanecen sin respuesta. Por ejemplo, si esta microestructura es una propiedad única del horizonte, o en cambio se da también en el interior o el centro del agujero negro, o si la evaporación del agujero negro nos puede traer algún tipo de información acerca de la materia y energía que este almacenaba. Más sobre las emocionantes propiedades cuánticas de los agujeros negros lo encontraréis en el capítulo de Ana Alonso Serrano.

Los límites del universo.

El origen de nuestro universo es otro escenario donde la gravedad cuántica se vuelve importante. Hace unos 13.800 millones de años, el universo experimentó una rapidísima y enorme expansión⁶. En números, esta expansión debió de durar unos 10^-32 segundos, durante los cuales el volumen del universo tuvo que aumentar en un factor mínimo de 10⁷⁸. Para que nos hagamos una idea, esto equivaldría a aumentar el diámetro del protón a la distancia de la Tierra al Sol, ¡increíble! De ahí que esta expansión se acostumbre a considerar el nacimiento de nuestro universo. Instantes antes de que la expansión tuviera lugar, durante los primeros 10^-43 segundos, el universo tendría un tamaño de unos 10^-38 kilómetros, mucho más pequeño que las partículas más pequeñas conocidas. ¡Imaginaos qué gran acumulación de energía! Nuestro universo metido en un espacio muchísimo más pequeño que un electrón. Una situación tan extrema, donde el universo toma dimensiones cuánticas, tuvo que estar gobernada por la gravedad cuántica. Esta fue por tanto la encargada de determinar los primeros instantes de nuestro universo. De qué estaba compuesto el universo en esos instantes primordiales y qué desencadenó la expansión consecuente, siguen siendo preguntas abiertas que la teoría de la gravedad cuántica deberá responder. Si queréis saber mucho más sobre este tema, os recomiendo leer el capítulo de Mercedes Martín Benito.

Volvamos ahora al presente. Hace tan solo unos veinte años descubrimos que nuestro universo ha empezado de nuevo a expandirse y de forma acelerada [18,17]. Qué es lo que provoca esta expansión, continúa siendo un misterio. Si el universo albergara solo la materia y energía que vemos o que conocemos: planetas, estrellas, nebulosas, etc.., se contraería en lugar de expandirse, puesto que todo lo que conocemos se atrae gravitatoriamente. Esta atracción debería hacer colapsar todo de nuevo en un punto, ¡de vuelta al origen del universo! El hecho de que, en lugar de eso, el universo se esté expandiendo indica pues que debe de haber otra fuente de energía, completamente distinta a todo lo que conocemos. Esta misteriosa energía ha sido denominada energía oscura. Debe permear todo el universo y tener unas propiedades completamente desconocidas, pues a diferencia de todo lo que conocemos, debe de repelerse gravitatoriamente. Para saber más sobre la expansión del universo y la energía oscura, os invito a leer los capítulos de Pilar Ruiz Lapuente, Ruth Lazkoz e Inés Cavero Peláez.

Esta expansión confiere a nuestro universo unas propiedades sorprendentes. Una de estas propiedades es la existencia del llamado horizonte cosmológico. Debido a la expansión, estrellas, galaxias y todo lo que vemos, se aleja de nosotros. Y no solo eso, sino que, además, cuanto más alejados están, más rápido se alejan. Una consecuencia sorprendente de ello es que hay partes del universo que nunca llegaremos a ver, pues a partir de una cierta distancia, estrellas y galaxias se alejan más rápido que la velocidad de la luz⁷, y por tanto la luz que emitan nunca podrá llegarnos. Así pues, nuestro universo “visible” está acotado por una vasta esfera celestial que nos rodea, el horizonte cosmológico, la frontera entre lo que vemos o llegaremos a ver y lo que no. Una vez una estrella cruza este horizonte, nunca más podremos saber de ella.

Os estaréis preguntando ¿a qué me suena a mi esto? Efectivamente, existe una asombrosa analogía entre nuestro horizonte cosmológico y el horizonte de eventos de un agujero negro. De hecho, ambos son horizontes de eventos, en el sentido que delimitan regiones del espacio de donde la luz no puede escapar. No podemos ver el interior de un agujero negro, del mismo modo que no podemos ver el universo exterior más allá de nuestro horizonte cosmológico⁸.

Fig.3 Grabado en madera originario del libro de Camille Flammarion L'Atmosphere: Météorologie Populaire (1888). Una interpretación moderna de este gravado podría ser la de la esfera estrellada como el horizonte cosmológico, que acota aquello que podemos ver, y la curiosidad del caballero que por ella se asoma como nuestro afán de comprender la naturaleza cuántica de nuestro horizonte y los secretos allí guardados, tanto de nuestro universo visible como de aquello que reside más allá.

Esta analogía nos lleva a considerar una posibilidad sorprendente: que el horizonte cosmológico, al igual que el horizonte de un agujero negro, esté compuesto por “átomos gravitatorios”, constituyentes a nivel microscópico, que le confieran una estructura gravitatoria cuántica. En este caso, el horizonte debería albergar entropía, que cuantificaría esta estructura microscópica o la cantidad de información almacenada.  A qué información correspondería, si por ejemplo pudiera ser una copia de todos los datos de nuestro universo visible, o si pudiéramos llegar a extraer de ella información acerca de lo que existe más allá de nuestro horizonte cosmológico, son preguntas tan fascinantes como fundamentales acerca del entorno en que vivimos. Además, tal y como hemos visto con los agujeros negros y su evaporación, esto podría tener consecuencias drásticas para la evolución temporal de nuestro universo visible. La gravedad cuántica, encargada de generar y regir tal estructura gravitatoria microscópica, es por tanto una clave importante para entender el futuro de nuestro universo.

Ninguno de les escenarios descritos arriba, en que la física está determinada por la gravedad cuántica, se presta fácilmente a la observación o a la adquisición de datos experimentales directos. Sin embargo, sabemos que han tenido y tienen un impacto tremendo en determinar el estado actual y futuro de nuestro universo y de los grandes sistemas que lo habitan. Es importante pues, que nos esforcemos en entenderlos. Su estudio a nivel teórico nos puede revelar muchos de sus secretos, además de abrirnos las puertas a nuevas avenidas observacionales de mucho más alcance.

Fig.4 ¿Podría el horizonte de eventos, cosmológico o de un agujero negro, almacenar información de aquello que lo cruza?

 

Hacia una teoría de la Gravedad Cuántica.

Espero que os habré convencido del impacto y la importancia de la gravedad cuántica. Pasemos ahora a explicar una de las líneas de investigación que actualmente se están siguiendo para desarrollar una teoría que la describa. Este último apartado del artículo es un poquito más técnico, así que os pido paciencia. Pero también os animo a no tirar la toalla, puesto que os esperan conceptos y conjeturas tan bellas como profundas acerca de nuestro universo.

Relatividad General: la gravedad como geometría.

Antes de ponernos a cuantizar la gravedad, debemos explicar una idea básica de la Relatividad General. El gran avance de la Relatividad General fue el de interpretar la gravedad como la curvatura del espaciotiempo. Para entender este concepto, empecemos por imaginar el espaciotiempo como el “tejido” por el cual nos movemos y evolucionamos con el tiempo. En ausencia de masas o energía, es decir en el vacío, este tejido es plano. Pero en presencia de un objeto con masa como un planeta, el tejido se curva, como pasa si ponemos una bola pesada encima de una sábana tensada por las cuatro esquinas. Debido a esta curvatura, cualquier otro cuerpo con masa que se acerque a la bola, tenderá a “caer” hacia ella. Esto es justamente lo que percibimos como atracción gravitatoria. La luz también experimenta la atracción gravitatoria o la curvatura del espaciotiempo, de tal forma que un rayo de luz propagándose por encima de la sábana también “caería” hacia la bola. Un agujero negro genera una curvatura del espaciotiempo con forma de embudo; todo lo que se acerca demasiado a la embocadura cae dentro, y en el centro la atracción gravitatoria es tan intensa que el espaciotiempo llega a “agujerearse”. En cuanto al universo a gran escala, podemos imaginarlo como un globo. Hinchar el globo soplando hace que la superficie de este crezca y la distancia entre dos puntos cualquiera aumente, exactamente igual que sucede con la expansión de nuestro universo. Según la Relatividad General pues, el espaciotiempo es dinámico, se mueve: se curva y se deforma en respuesta a la materia y a la energía que por él viajan. Así pues, podemos decir que el espaciotiempo tiene energía cinética.

Fig.5 Podemos imaginar la expansión del universo como un globo hinchándose. La superficie del globo es el espaciotiempo. A medida que el globo se hincha, la distancia entre los distintos objetos en nuestro universo aumenta.

Energía cinética negativa y emergencia del tiempo.

Ahora que ya hemos preparado los ingredientes, vayamos al grano. Obtener una teoría de la gravedad cuántica, que a diferencia de la teoría cuántica efectiva sea válida cuando los efectos gravitatorios cuánticos son importantes, no es tarea fácil. Una de las dificultades es debida a una propiedad muy particular de la gravedad: la energía cinética del espaciotiempo puede llegar a ser negativa. Esta es una propiedad muy extraña, pues estaréis de acuerdo en que la energía cinética, que cuantifica el movimiento de las cosas, acostumbra a ser positiva. Una consecuencia indeseada de esta propiedad es que cuando intentamos cuantizar la gravedad, el espectro de energías que resulta no es compatible con las leyes de la mecánica cuántica⁹. Esto parece sugerir que la cuantización de la gravedad requiere un tratamiento específico que la haga compatible con los principios cuánticos.

Una posible solución a este problema consistiría en usar un lenguaje para representar la geometría del espaciotiempo que no exhiba tales energías cinéticas negativas. Sin embargo, cabe la posibilidad que este signo negativo de la energía tenga un origen conceptual fundamental, en cuyo caso sería más interesante aprender a tratarlo que evitarlo. Según la llamada Teoría de Cuerdas, una de las candidatas a teoría de la gravedad cuántica más famosa, el signo negativo de la energía cinética del espaciotiempo está relacionado con la distinción entre tiempo y espacio. ¿Cómo se relacionan? Dos puntos en el espacio están separados por una distancia positiva, obvio. Sin embargo, en la teoría de la Relatividad de Einstein, dos eventos en el tiempo están separados por una distancia negativa. En consecuencia, si los dos puntos en el espacio también están separados en el tiempo, su distancia espaciotemporal es menor, pues el tiempo “resta”. En la Teoría de Cuerdas, el signo negativo del tiempo corresponde al mismo signo negativo de la energía cinética del espaciotiempo. Aunque superficialmente pueda parecer obvia, esta es una relación increíblemente profunda. Una teoría de la gravedad cuántica que resuelva el problema de la energía cinética negativa podría revelarnos pues, de donde y como emerge el tiempo.

Gravedad cuántica de Liouville.

Una estrategia para abordar este problema consiste en simplificarlo considerando que el espaciotiempo tiene solo dos dimensiones, en lugar de las cuatro que experimentamos. Este correspondería a un universo con una dimensión espacial (una línea en vez de un volumen) y una de temporal. Aunque claramente tal universo es una idealización, nos ofrece un marco simplificado donde estudiar nuestro problema. Además, la teoría de la Relatividad General se puede formular sin dificultad en dos dimensiones.

¿Pero de dónde surge realmente la simplificación? Sorprendentemente, en dos dimensiones, la gravedad se vuelve muy simétrica. En concreto, exhibe simetría conforme. Desarrollar una idea intuitiva de qué es esta simetría y sus implicaciones en el contexto de la gravedad es un tanto complicado, así que pongamos primero ejemplos más habituales. Pensemos en la hoja de un helecho. Si la miramos de lejos, tiene una forma más o menos triangular. Si nos acercamos, vemos que está formada por distintas ramitas, cada una de ellas con la misma forma que la hoja principal. A medida que vamos ampliando el foco, vemos que se va repitiendo el patrón. A esta repetición de la estructura de la hoja, o de forma equivalente, esta invariancia de lo que vemos bajo ampliación o alejamiento del foco, se le llama simetría de escala. En la naturaleza, hay muchos sistemas que exhiben esta simetría, como por ejemplo las ramas de los árboles o la col romanesco.

Fig.6 Ejemplos de simetría de escala.

Curiosamente, esta simetría también es una propiedad de la estructura microscópica de muchos materiales cuando se encuentran en condiciones muy especiales, por ejemplo, de temperatura y presión. En estos casos, además de la simetría de escala, los materiales exhiben también simetría de traslación y de rotación. Es decir, nada cambia cuando los trasladamos o les damos vueltas. Ahora imaginemos que trasladamos, damos vueltas, o cambiamos la escala, de manera distinta en cada punto del material. ¡Una transformación no precisamente sutil! Solo si el material tiene simetría conforme, se verá igual después de tal transformación¹⁰. Para haceros una mejor idea, mirad las siguientes imágenes (figuras 7 y 8):

Fig.7 Ejemplo de imagen sin simetría conforme. La tercera de estas imágenes corresponde a la famosa litografía de M. Escher “Prentententoonstelling” (1956). En 2003, los matemáticos H. Lenstra y B. de Smit analizaron esta imagen matemáticamente, y se dieron cuenta que era el resultado de una transformación conforme: resulta de dividir la imagen original (primera imagen) en una retícula, y rotar y escalar cada sub-recuadro de forma distinta tal y como se ve en la segunda imagen [14]. Imágenes obtenidas de su página web [15]­­­, y del blogpost “The warped space of M C Escher” de Michael Hogg [12].

La simetría conforme es una propiedad increíblemente restrictiva. Los materiales o sistemas que la exhiben son tan simétricos, que su comportamiento está muy restringido. En otras palabras, tienen muy pocas maneras de comportarse de modo que se respete la simetría. Consecuencia de ello es que, materiales con esta simetría tienden a comportarse de la misma forma. Por ejemplo, consideremos dos materiales completamente distintos, tanto de apariencia como de estructura molecular: el agua y un imán ferromagnético. Cuando estos dos materiales se encuentran a la temperatura exacta (distinta para cada uno de ellos) donde adquieren simetría conforme, los parámetros que describen su comportamiento ¡se vuelven exactamente idénticos! Por ejemplo, les cuesta exactamente lo mismo calentarse o enfriarse. Y así como el agua y el imán, tantos otros materiales exhiben los mismos parámetros cuando adquieren esta simetría. Este es un ejemplo muy gráfico del impacto de la simetría conforme.

Fig.8 Cuatro imágenes con simetría conforme (concretamente, simulaciones del modelo crítico de Ising en dos dimensiones). Si aplicamos la misma transformación conforme usada en la litografía de Escher a estas imágenes, el resultado (aunque no idéntico) será indistinguible. Esta invariancia de apariencia es la llamada simetría conforme. Imágenes extraídas del blog de Douglas Ashton [13].

La simetría conforme la encontramos finalmente en las escalas más pequeñas conocidas. Por ejemplo, la física de los fotones, descrita por la Electrodinámica Cuántica, exhibe simetría conforme. También la Teoría de Cuerdas se fundamenta en ella. En estos contextos, es mucho más difícil visualizar los efectos de esta simetría sobre estos sistemas de partículas o de cuerdas, pero el tratamiento matemático es el mismo. La simetría conforme pues, lejos de ser una simetría rara exhibida por algunos materiales en condiciones muy particulares, es una propiedad fundamental de algunas de las interacciones que la materia experimenta, y a su vez, una gran herramienta para estudiarlas. Las teorías físicas que describen sistemas con simetría conforme se llaman teorías conformes, y constituyen un amplio campo de estudio. Estas teorías son más fáciles de resolver y desarrollar que otras teorías cuánticas, pues el elevado grado de simetría les confiere una estructura matemática muy rígida, y por tanto más fácil de determinar.

Volvamos a la gravedad. Resulta que la Relatividad General, cuando la consideramos en dos dimensiones, se vuelve una teoría conforme. Y, además, una teoría conforme muy conocida en el campo de la física teórica que estudia materiales tales como los ferromagnéticos mencionados anteriormente, la denominada teoría de Liouville [2]. La gran ventaja de esta conexión es que todos los resultados que se conocen de la teoría de Liouville, así como toda la maquinaria matemática de las teorías conformes, se ponen automáticamente al servicio de la gravedad.

Así ha sido como, en los últimos cinco años, se ha conseguido avanzar mucho en el desarrollo de la teoría de la gravedad cuántica de Liouville. En concreto, se ha conseguido determinar el espectro cuántico de energías gravitacionales y demostrado que respeta los principios de la mecánica cuántica, demostrando que la energía cinética negativa no supone una incompatibilidad fundamental [3]. También se han podido calcular las denominadas funciones de correlación, elementos constitutivos básicos de cualquier teoría cuántica con que se determina la interacción gravitatoria entre partículas [4]. Aunque estos resultados resuelven solo uno de los obstáculos de la gravedad cuántica, suponen un avance importante en el desarrollo de una teoría completa, y van a indicar como proceder en la cuantización de la gravedad en cuatro dimensiones.

Entropía del horizonte cosmológico.

Uno de los sucesos más recientes de la teoría de la gravedad cuántica de Liouville ha sido el de proporcionar una de las contribuciones a la expresión matemática para la entropía del horizonte cosmológico. La gravedad cuántica de Liouville está equipada para describir un universo en expansión (en dos dimensiones), con el horizonte cosmológico correspondiente. La entropía total del horizonte en esta teoría resulta de sumar la entropía asociada a todas las geometrías compatibles con el espaciotiempo de un universo en expansión.

El primer término en esta suma corresponde a la contribución de la geometría de la esfera, sigue la de la geometría de un donut, después la de un donut con dos agujeros, y así sucesivamente. Cada agujero que añadimos al donut disminuye la contribución a la entropía. Con la teoría de la gravedad cuántica de Liouville, y usando la maquinaria matemática de las teorías conformes, se ha podido calcular la entropía asociada a la geometría esférica, la contribución dominante a la entropía total [5].

Fig.9 Cada figura representa una geometría distinta del espaciotiempo dos-dimensional. La entropía del horizonte cosmológico resulta de sumar la entropía asociada a cada geometría del espaciotiempo: la del donut sin agujero (o esfera), la del donut con un agujero, la del donut con dos agujeros, … y así hasta infinito.

La expresión resultante para esta entropía es una fórmula matemática que depende de los parámetros del universo en expansión (como la densidad de energía oscura originando la expansión) y de constantes físicas fundamentales como la constante de Newton de la gravedad, la velocidad de la luz, y la constante de Planck característica de los procesos cuánticos. Esta expresión, por tanto, engloba relatividad, gravedad y cuántica. Más importante, pero, es la dependencia exacta que la fórmula exhibe de estos parámetros y constantes, que involucra funciones matemáticas muy especiales, como los logaritmos o las llamadas funciones Gamma. Es en la complejidad de esta estructura matemática de la entropía que se esconden los secretos acerca de los constituyentes gravitatorios cuánticos del horizonte cosmológico, de la información que quizás allí se almacena, y posiblemente, del destino de nuestro universo.

 

Notas:

¹ La Electrodinámica Cuántica surgió de combinar la mecánica cuántica con la teoría de la Relatividad Especial de Einstein. Esta última, anterior a su teoría de la Relatividad General y que no incorpora aún los efectos de la gravedad, es la teoría que estableció la unión entre espacio y tiempo, la velocidad finita de la luz y como esta interacciona con la materia cargada eléctricamente. Esta teoría, pues, es uno de los paradigmas de la unión entre los legados de Bohr y Einstein.

² Para saber más acerca de esta teoría, ver [6].

³ Para un artículo de revisión técnico con muchas otras referencias, ver [7].

⁴ Asumiendo que algún día sus predicciones sean corroboradas experimentalmente.

⁵ Para entender este punto mejor, recomendamos el libro de divulgación de Hawking [8], o para algo más técnico pero pedagógico [16]. Las fuentes originales son [9,10].

⁶ Evidencia de la expansión primordial nos llega, entre otras, de la medición del fondo de microondas [11], el baño de ondas de baja frecuencia emitido poco después de esta expansión y que permea nuestro universo aún hoy en día.

⁷ Esto puede resultar confuso: la velocidad con que se alejan estrellas y galaxias no es la de estos objetos moviéndose en el espacio, sino la de los puntos del espacio en los que se encuentran. Estos objetos en realidad están quietos en el espacio. Esta velocidad, por tanto, no está limitada por la Relatividad Especial a ser menor que la velocidad de la luz. De hecho, como mencionamos arriba, la expansión del universo se está acelerando.

⁸ Nota de los coordinadores: La imagen de Flammarion está repetida en este libro en dos capítulos de temática distinta y con las autoras a miles de kilómetros de distancia y sin contacto entre ellas. Las mantenemos, en los dos capítulos, como buena prueba de la universalidad de la Ciencia

⁹ Para aquellos lectores que tengan nociones de mecánica cuántica, lo que sucede es que este signo negativo de la energía implica que la probabilidad asociada a las medidas cuánticas no se conserva en el tiempo.

¹⁰ El nombre de esta simetría tiene una explicación: si cogéis cualquier imagen, la trasladáis, la rotáis o le cambiáis la escala, la forma de la imagen no cambia, se mantiene conforme.

 

 

Referencias:

[1] J. F. Donoghue, "Leading quantum correction to the Newtonian potential," Phys. Rev. Lett., vol. 72, no. 19, pp. 2996--2999, 1994.

[2] A. M. Polyakov, "Quantum Geometry of Bosonic Strings," Phys. Lett. B, vol. 103, p. 207–210, 1981.

[3] T. Bautista, A. Dabholkar and E. Harold, "Quantum Gravity from Timelike Liouville theory," JHEP, vol. 10, p. 284, 2019.

[4] S. Ribault and R. Santachiara, "Liouville theory with a central charge less than one," JHEP, vol. 08, p. 109, 2015.

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Teresa Bautista Solans.

Doctora en Física Teórica.

Posdoctoral Research Associate en King´s College London.